Question

16．設(shè)雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與直線x=-1的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y₀，若|y₀|＜2，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\sqrt{3}$）
• B． （1，$\sqrt{5}$）
• C． （$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （$\sqrt{5}$，+∞）

Answer 1

分析 求出直線和漸近線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)不等式關(guān)系求出a，b的范圍，進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵雙曲線的漸近線為y=±$\frac{a}$x，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y=±$\frac{a}$，
∵交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y₀，若|y₀|＜2，
∴|$\frac{a}$|＜2，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$$＜\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
∵e＞1，
∴1＜e＜$\sqrt{5}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)的取值范圍建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．