Question

5．若直線l與曲線C滿足下列兩個條件：（�。┲本�l在點P（x₀，y₀）處與曲線C相切；（ⅱ）曲線C在點P附近位于直線l的兩側，則稱直線l在點P處“切過”曲線C．下列命題正確的是②④⑤．
①直線l：x=-1在點P（-1，0）處“切過”曲線C：y=（x+1）²；
②直線l：y=0在點P（0，0）處“切過”曲線C：y=x³；
③直線l：y=x-1在點P（1，0）處“切過”曲線C：y=lnx；
④直線l：y=x在點P（0，0）處“切過”曲線C：y=sinx；
⑤直線l：y=x在點P（0，0）處“切過”曲線C：y=tanx．

Answer 1

分析 分別求出每一個命題中曲線C的導數(shù)，得到曲線在點P處的導數(shù)值，求出曲線在點P處的切線方程，再由曲線在點P兩側的函數(shù)值與對應直線上點的值的大小判斷是否滿足（ii），則正確的選項可求．

解答 解：對于①，由y=（x+1）²，得y′=2（x+1），則y′|_x=-1=0，
而直線l：x=-1的斜率不存在，在點P（-1，0）處不與曲線C相切，故①錯誤；
對于②，由y=x³，得y′=3x²，則y′|_x=0=0，直線y=0是過點P（0，0）的曲線C的切線，
又當x＞0時y＞0，當x＜0時y＜0，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=0兩側，故②正確；
對于③，由y=lnx，得y′=$\frac{1}{x}$，則y′|_x=1=1，曲線在P（1，0）處的切線為y=x-1，
由g（x）=x-1-lnx，得g′（x）=1-$\frac{1}{x}$，當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，
g′（x）＞0．則g（x）在（0，+∞）上有極小值也是最小值，為g（1）=0．
即y=x-1恒在y=lnx的上方，不滿足曲線C在點P附近位于直線l的兩側，故③錯誤；
對于④，由y=sinx，得y′=cosx，則y′|_x=0=1，直線y=x是過點P（0，0）的曲線的切線，
又x∈（-$\frac{π}{2}$，0）時x＜sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）時x＞sinx，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=x兩側，
故④正確；
對于⑤，y=tanx的導數(shù)為y′=sec²x，則y′|_x=0=1，直線y=x是過點P（0，0）的曲線的切線，
又x∈（-$\frac{π}{2}$，0）時x＞tanx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）時x＜tanx，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=x兩側，
故⑤正確．
故答案為：②④⑤．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，綜合考查導數(shù)的應用：求單調區(qū)間和極值、最值，同時考查新定義的理解，屬于中檔題和易錯題．