【題目】對于定義域為R的函數(shù)f(x),若滿足①f(0)=0;②當x∈R,且x≠0時,都有xf'(x)>0;③當x1≠x2 , 且f(x1)=f(x2)時,x1+x2<0,則稱f(x)為“偏對稱函數(shù)”. 現(xiàn)給出四個函數(shù):g(x)= ;φ(x)=ex﹣x﹣1.
則其中是“偏對稱函數(shù)”的函數(shù)個數(shù)為 .
【答案】2
【解析】經驗證,g(x),h(x),Φ(x),φ(x)都滿足條件①; xf′(x)>0 ,或
.即條件②等價于函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣∞,0)上單調遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增.
而容易驗證g(x)是奇函數(shù),由及函數(shù)的性質可知g(x)在區(qū)間(﹣∞,0)和(0,+∞)上單調性相同,故g(x)不滿足條件②.
由復合函數(shù)的單調性法則知h(x)在區(qū)間(﹣∞,0)上單調遞減,顯然在(0,+∞)上單調遞增,故h(x)滿足條件②.
Φ′(x)=﹣3x2+3x,xΦ′(x)=﹣3x3+3x2=﹣3x2(x﹣1),當x>1時,xΦ′(x)<0,故Φ(x)不滿足條件②.
φ′(x)=ex﹣1,xφ′(x)=x(ex﹣1),滿足條件②.
故由條件②可排除g(x)和Φ(x);
由函數(shù)h(x)的單調性知:當x1≠x2 , 且h(x1)=h(x2)時,x1x2<0,不妨設x1<0<x2 .
則ln(﹣x1+1)=2x2 , 設F(x)=ln(x+1)﹣2x,x>0.則F′(x)= <0,F(xiàn)(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
所以F(x2)<F(0)=0,即ln(x2+1)<2x2 , 即ln(x2+1)<ln(﹣x1+1),所以x2+1<﹣x1+1,即x1+x2<0,故h(x)也滿足條件③,所以h(x)是“偏對稱函數(shù)”.
由φ(x)的單調性知當x1≠x2 , 且φ(x1)=φ(x2)時,x1x2<0,不妨設x1<0<x2 .
則 ,﹣x2<0,φ(x1)﹣φ(﹣x2)=φ(x2)﹣φ(﹣x2)=
.
令F(x)=ex﹣e﹣x﹣2x,F(xiàn)′(x)= ,當且僅當ex=e﹣x即x=0時,“=”成立,
所以F(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),所以F(x2)>F(0)=0,即φ(x1)﹣φ(﹣x2)>0,所以φ(x1)>φ(﹣x2),所以x1<﹣x2 , 所以x1+x2<0.所以φ(x)是“偏對稱函數(shù)”.
所以答案是:2
【考點精析】根據題目的已知條件,利用函數(shù)的值和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握函數(shù)值的求法:①配方法(二次或四次);②“判別式法”;③反函數(shù)法;④換元法;⑤不等式法;⑥函數(shù)的單調性法;一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果
,那么函數(shù)
在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果
,那么函數(shù)
在這個區(qū)間單調遞減.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】把函數(shù)的圖象沿
軸向左平移
個單位,縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)后得到函數(shù)
的圖象,對于函數(shù)
有以下四個判斷:
①該函數(shù)的解析式為;;
②該函數(shù)圖象關于點對稱;
③該函數(shù)在[,上是增函數(shù);
④函數(shù)在
上的最小值為
,則
.
其中,正確判斷的序號是______.
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【題目】如圖,已知等腰直角三角形的斜邊
所在直線方程為
,其中
點在
點上方,直角頂點
的坐標為
.
(1)求邊上的高線
所在直線的方程;
(2)求等腰直角三角形的外接圓的標準方程;
(3)分別求兩直角邊,
所在直線的方程.
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【題目】(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=|2x﹣3|﹣2|x|,若關于x不等式f(x)≤|a+2|+2a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍; (Ⅱ)已知正數(shù)x,y,z滿足2x+y+z=1,求證 .
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【題目】某制造商月生產了一批乒乓球,隨機抽樣
個進行檢查,測得每個球的直徑(單位:mm),將數(shù)據分組如下表
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
| 10 | |
20 | ||
50 | ||
20 | ||
合計 | 100 |
(1)請在上表中補充完成頻率分布表(結果保留兩位小數(shù)),并在上圖中畫出頻率分布直方圖;
(2)統(tǒng)計方法中,同一組數(shù)據常用該組區(qū)間的中點值(例如區(qū)間的中點值是
)作為代表.據此估計這批乒乓球直徑的平均值(結果保留兩位小數(shù)).
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【題目】給出下列四個命題:①命題“若,則
”的逆否命題為假命題:
②命題“若,則
”的否命題是“若
,則
”;
③若“”為真命題,“
”為假命題,則
為真命題,
為假命題;
④函數(shù)有極值的充要條件是
或
.
其中正確的個數(shù)有( )
A. B.
C.
D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=e2x(ax2+2x﹣1),a∈R.
(Ⅰ)當a=4時,求證:過點P(1,0)有三條直線與曲線y=f(x)相切;
(Ⅱ)當x≤0時,f(x)+1≥0,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知二次函數(shù)交
軸于
兩點(
不重合),交
軸于
點. 圓
過
三點.下列說法正確的是( )
① 圓心在直線
上;
② 的取值范圍是
;
③ 圓半徑的最小值為
;
④ 存在定點,使得圓
恒過點
.
A. ①②③B. ①③④C. ②③D. ①④
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