Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{4}{x}$．
（1）從區(qū)間（-2，2）內(nèi)任取一個實數(shù)a，設(shè)事件A={函數(shù)y=f（x）-2在區(qū)間（0，+∞）上有兩個不同的零點}，求事件A發(fā)生的概率；
（2）當a＞0，x＞0時，f（x）=ax+$\frac{4}{x}≥4\sqrt{a}$．若連續(xù)擲兩次骰子（骰子六個面上標注的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）得到的點數(shù)分別為a和b，記事件B={f（x）＞b²在x∈（0，+∞）恒成立}，求事件B發(fā)生的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍，從而求出P（A）即可；（2）得到$4\sqrt{a}＞{b^2}$，求出滿足條件的基本事件的個數(shù)，從而求出滿足條件的概率即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=f（x）-2在區(qū)間（0，+∞）上有兩個不同的零點，
∴f（x）-2=0，即ax²-2x+4=0有兩個不同的正根x₁和x₂，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a≠0}\\{{x_1}+{x_2}=\frac{2}{a}＞0}\\{{x_1}{x_2}=\frac{4}{a}＞0}\\{△=4-16a＞0}\end{array}}\right.$$⇒0＜a＜\frac{1}{4}$，
∴$P（A）=\frac{{\frac{1}{4}}}{4}=\frac{1}{16}$                               
（2）由a＞0，x＞0，$f（x）≥4\sqrt{a}$，
∴$f{（x）_{min}}=4\sqrt{a}$，
∵f（x）＞b²在x∈（0，+∞）恒成立，
∴$4\sqrt{a}＞{b^2}$（*），
當a=1時，b=1適合（*），
當a=2，3，4，5時，b=1，2均適合（*），
當a=6時，b=1，2，3均適合（*），
滿足（*）的基本事件個數(shù)為1+8+3=12，
而基本事件總數(shù)為6×6=36，
∴$P（B）=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的最值問題，考查概率公式的應(yīng)用，是一道中檔題．