【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn),且左、右焦點(diǎn)分別為,.這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為,是以為底邊的等腰三角形.若,記橢圓與雙曲線的離心率分別為、,則的取值范圍是_____.
【答案】
【解析】
如圖所示,設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為:,.(a1,a2,b1,b2>0,a1>b1).根據(jù)△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形,|PF1|=10,可得10+2c=2a1,10﹣2c=2a2,可得,于是e1+e2=e2f(e2),e2>1.利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出.
解:如圖所示,
設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為:,.(a1,a2,b1,b2>0,a1>b1)
∵△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形,|PF1|=10,
∴10+2c=2a1,10﹣2c=2a2,
相減可得:2c=a1﹣a2,
∴,
∴,
∴e1+e2=e2f(e2),e2>1.
∴f′(e2)=110,
∴函數(shù)f(e2)在e2>1時(shí)單調(diào)遞增,
∴f(e2)>f(1)=1.
∴e1+e2的取值范圍是.
故答案為:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為二次函數(shù),不等式的解集是,且在區(qū)間上的最大值為12.
(1)求的解析式;
(2)設(shè)函數(shù)在上的最小值為,求的表達(dá)式及的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),判斷是否為的極值點(diǎn),并說(shuō)明理由;
(2)記.若函數(shù)存在極大值,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[0,3],求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若ARB,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,,直線的斜率為,直線的斜率為,且.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè),,連接并延長(zhǎng),與軌跡交于另一點(diǎn),點(diǎn)是中點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),記與的面積之和為,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是(表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)).
(1)證明:、、、、都是數(shù)列的項(xiàng);
(2)是否是數(shù)列的項(xiàng),證明你的結(jié)論;
(3)證明:有無(wú)窮多個(gè)2的正整數(shù)冪是數(shù)列的項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有一種候鳥每年都按一定的路線遷徙,飛往繁殖地產(chǎn)卵,科學(xué)家經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù),單位是,其中表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù),為表示測(cè)量過(guò)程中候鳥每分鐘的耗氧偏差.(參考數(shù)據(jù):,,)
(1)若,候鳥停下休息時(shí),它每分鐘的耗氧量為多少個(gè)單位?
(2)若雄鳥的飛行速度為,雌鳥的飛行速度為,那么此時(shí)雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若對(duì)任意的實(shí)數(shù),都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若,的最大值是,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】命題:指數(shù)函數(shù)是減函數(shù);命題:,使關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解,其中.
(1)當(dāng)時(shí),若為真命題,求的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),若且為假命題,求的取值范圍.
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