Question

【題目】（題文）已知等差數(shù)列{an}的首項a1≠0，前n項和為Sn，且S4＋a2＝2S3；等比數(shù)列{bn}滿足b1＝a2，b2＝a4.

(1)求證：數(shù)列{bn}中的每一項都是數(shù)列{an}中的項；

(2)若a1＝2，設(shè)cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn；

(3)在(2)的條件下，若有f(n)＝log3Tn，求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的最大值．

Answer 1

【答案】(1)見解析．(2)－1．

【解析】試題分析：

（1）由題意可得在等差數(shù)列{an}中，an＝na1，根據(jù)b1＝2a1，b2＝4a1可得等比數(shù)列的公比為q＝2，故bn＝2n·a1，由于2n∈N*，故數(shù)列{bn}中的每一項都是{an}中的項．（2）由（1）可得，故用列項相消法求和即可．（3）結(jié)合（2）可得f(n)＝log3Tn＝log3，由對數(shù)的運算性質(zhì)可得f(1)＋f(2)＋…＋f(n) ，令，作差可得單調(diào)遞減，從而可得所求最值．

試題解析：

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

由S4＋a2＝2S3，得4a1＋6d＋a1＋d＝6a1＋6d，

∴a1＝d，

∴an＝a1＋(n－1)d＝na1，

由題意得b1＝2a1，b2＝4a1，

∴等比數(shù)列{bn}的公比q＝＝2，

∴bn＝2a1·2n－1＝2n·a1，

∵2n∈N*，

∴數(shù)列{bn}中的每一項都是{an}中的項．

(2)當(dāng)a1＝2時，bn＝2n＋1，

∴

∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn

＝2[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝2(－)＝．

(3)由題意得f(n)＝log3Tn＝log3，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝log3＋log3＋…＋log3＝log3(··…·)

令，

則，

∴，故單調(diào)遞減，

∴．

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的最大值為－1．