【題目】已知橢圓C： 的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且過點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過作兩條直線與圓相切且分別交橢圓于M、N兩點．

① 求證：直線MN的斜率為定值；

② 求△MON面積的最大值（其中O為坐標原點）．

【答案】（1）（2）① ②

【解析】試題分析：（1）先求雙曲線離心率得橢圓離心率，再將點坐標代入橢圓方程，解方程組得，（2）①先根據(jù)點斜式得直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立解得坐標，根據(jù)直線與圓相切，得斜率相反，同理可得最后根據(jù)斜率公式求斜率，②設直線MN方程，根據(jù)原點到直線距離得高，與橢圓方程聯(lián)立方程組結(jié)合韋達定理以及弦長公式得底邊邊長，最后代入三角形面積公式，利用基本不等式求最值.

試題解析：（1）可得，設橢圓的半焦距為，所以，

因為C過點，所以，又，解得，

所以橢圓方程為．　　　　　　　　　　　　　

（2）① 顯然兩直線的斜率存在，設為， ，

由于直線與圓相切，則有，

直線的方程為， 聯(lián)立方程組

消去，得，　　

因為為直線與橢圓的交點，所以，

同理，當與橢圓相交時， ，

所以，而，

所以直線的斜率．　　　　　　　

② 設直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，

所以，

原點到直線的距離，　　　　　　　　

面積為，

當且僅當時取得等號．經(jīng)檢驗，存在（），使得過點的兩條直線與圓相切，且與橢圓有兩個交點M，N．

所以面積的最大值為．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】己知橢圓W：+=1（a>b>0），直線：=與軸，軸的交點分別是橢圓W的焦點與頂點。

（1）求橢圓W的方程；

（2）設直線m：=kx（k≠0）與橢圓W交于P，Q兩點，過點P（，）作PC⊥軸，垂足為點C，直線交橢圓w于另一點R。

①求△PCQ面積的最大值；②求出∠QPR的大小。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（題文）已知等差數(shù)列{an}的首項a1≠0，前n項和為Sn，且S4＋a2＝2S3；等比數(shù)列{bn}滿足b1＝a2，b2＝a4.

(1)求證：數(shù)列{bn}中的每一項都是數(shù)列{an}中的項；

(2)若a1＝2，設cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn；

(3)在(2)的條件下，若有f(n)＝log3Tn，求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】科學研究表明：人類對聲音有不的感覺，這與聲音的強度單位：瓦平方米有關(guān)在實際測量時，常用單位：分貝來表示聲音強弱的等級，它與聲音的強度I滿足關(guān)系式：是常數(shù)，其中瓦平方米如風吹落葉沙沙聲的強度瓦平方米，它的強弱等級分貝．

已知生活中幾種聲音的強度如表：

聲音來源

聲音大小

風吹落葉沙沙聲

輕聲耳語

很嘈雜的馬路

強度瓦平方米

強弱等級分貝

10

m

90

求a和m的值

為了不影響正常的休息和睡眠，聲音的強弱等級一般不能超過50分貝，求此時聲音強度I的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是，若將的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)為奇函數(shù)．

（1）求的解析式；

（2）求的對稱軸及單調(diào)增區(qū)間；

（3）若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=，設bn=，n∈N*。

（1）證明{bn}是等比數(shù)列（指出首項和公比）；

（2）求數(shù)列{log2bn}的前n項和Tn。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的極坐標方程及曲線的直角坐標方程；

（2）已知曲線交于兩點，過點且垂直于的直線與曲線交于兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的上頂點為,離心率為. 拋物線截軸所得的線段長為的長半軸長.

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點的直線與相交于兩點,直線分別與相交于兩點

證明：以為直徑的圓經(jīng)過點；

記和的面積分別是,求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示的幾何體中，，為全等的正三角形，且平面平面，平面平面，.

證明：；

求點到平面的距離.

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同步練習冊答案