Question

12．若點(diǎn)M（0，3）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞2）上任意一點(diǎn)P距離的最大值不超過2$\sqrt{7}$，求a的取值范圍是（2，4]．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），由橢圓的方程結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式化簡得|PM|²，配方后分類討論求得|PM|²的最大值，由|PM|的最大值不超過2$\sqrt{7}$列式求得a的取值范圍．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），∵P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，
∴|PM|²=x²+（y-3）²=${a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}{y}^{2}+{y}^{2}-6y+9$
=$\frac{4-{a}^{2}}{4}{y}^{2}-6y+{a}^{2}+9$=$\frac{4-{a}^{2}}{4}（{y}^{2}-\frac{24}{4-{a}^{2}}y）+{a}^{2}+9$
=$\frac{4-{a}^{2}}{4}（y-\frac{12}{4-{a}^{2}}）^{2}-\frac{36}{4-{a}^{2}}+{a}^{2}+9$．
∵-2≤y≤2，
∴當(dāng)$\frac{12}{4-{a}^{2}}≤-2$，即2$＜a≤\sqrt{10}$時，
|PM|²=$\frac{4-{a}^{2}}{4}（y-\frac{12}{4-{a}^{2}}）^{2}-\frac{36}{4-{a}^{2}}+{a}^{2}+9$的最大值為$\frac{25{a}^{2}-100}{{a}^{2}-4}$
由$\frac{25{a}^{2}-100}{{a}^{2}-4}≤28$，得a≤-2或a≥2，
∴a∈（2，$\sqrt{10}$]；
當(dāng)$\frac{12}{4-{a}^{2}}＞-2$，即a$＞\sqrt{10}$時，
|PM|²的最大值為$-\frac{36}{4-{a}^{2}}+{a}^{2}+9=\frac{{a}^{4}+5{a}^{2}}{{a}^{2}-4}$
由$\frac{{a}^{4}+5{a}^{2}}{{a}^{2}-4}≤28$，得7≤a²≤16，
∴$-4≤a≤-\sqrt{7}$或$\sqrt{7}≤a≤4$，
則$\sqrt{10}＜a≤4$．
綜上，a的取值范圍是（2，4]．
故答案為：（2，4]．

點(diǎn)評 本題給出橢圓上的動點(diǎn)P，求P到定點(diǎn)（0，3）的距離最大值．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式等知識，考查計算能力，屬于中檔題．