Question

2．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-1+x）=f（3-x），當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，則關(guān)于θ不等式$f（sin2θ）＜f（log_8{2\sqrt{2}}）$的解范圍（　　）

• A． $（kπ+\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}），k∈Z$
• B． $（kπ+\frac{5π}{12}，kπ+\frac{3π}{4}），k∈Z$
• C． $（kπ-\frac{7π}{12}，kπ+\frac{π}{12}），k∈Z$
• D． $（kπ-\frac{5π}{12}，kπ-\frac{π}{12}），k∈Z$

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵f（-1+x）=f（3-x），
∴函數(shù)關(guān)于$\frac{-1+x+3-x}{2}$=1對(duì)稱性，
∵log₈2$\sqrt{2}$=log₈2${\;}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{lo{g}_{2}{2}^{\frac{3}{2}}}{lo{g}_{2}8}$=$\frac{\frac{3}{2}}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴不等式$f（sin2θ）＜f（log_8{2\sqrt{2}}）$等價(jià)為f（sin2θ）＜f（$\frac{1}{2}$），
∵當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，
則不等式等價(jià)為sin2θ＞$\frac{1}{2}$，
即2kπ+$\frac{π}{6}$＜2θ＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z．
則kπ+$\frac{π}{12}$＜θ＜kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z．
故不等式的解集為（kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$），k∈Z．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．