Question

18．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（$\frac{π}{12}$，0），圖象上與點(diǎn)P最近的一個(gè)最高點(diǎn)是Q（$\frac{π}{3}$，5）
（1）求函數(shù)的解析式，
（2）畫出這個(gè)函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象．并求出其遞減區(qū)間，
（3）若存在x∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$）使得f（x）=3，求sin2x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，求出A、ω與φ的值即得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，利用列表、描點(diǎn)、連線，畫出函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象，
再根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）根據(jù)題意求出sin（2x-$\frac{π}{6}$）與cos（2x-$\frac{π}{6}$）的值，再求sin2x的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，A=5，
$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$，
解得T=π，∴ω=2；
又x=$\frac{π}{12}$時(shí)，ωx+φ=kπ，
∴φ=kπ-ωx=kπ-$\frac{π}{6}$，
令k=0，解得φ=-$\frac{π}{6}$，
∴函數(shù)f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，列表如下

2x-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
f（x）	0	5	0	-5	0

描點(diǎn)、連線，畫出函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示；

根據(jù)圖象，得出該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（3）存在x∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$）使得f（x）=3，
即5sin（2x-$\frac{π}{6}$）=3，
解得sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
∴cos（2x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$；
∴sin2x=sin[（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+cos（2x-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$
=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)求值的應(yīng)用問題，是綜合性題目．