Question

20．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}$（θ為參數(shù)）．以點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）將曲線C和直線l化為直角坐標方程；
（Ⅱ）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}$（θ為參數(shù)）利用cos²θ+sin²θ=1可得曲線C的直角坐標方程．由ρsin（θ+$\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$，得$ρ（{sinθcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$，
（II）解法1：由于點Q是曲線C上的點，則可設點Q的坐標為$（{\sqrt{3}cosθ，sinθ}）$，點Q到直線l的距離為d=$\frac{{|{2cos（{θ-\frac{π}{6}}）-2}|}}{{\sqrt{2}}}$．利用三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出．
解法2：設與直線l平行的直線l'的方程為x+y=m，與橢圓方程聯(lián)立消去y得4x²-6mx+3m²-3=0，令△=0，解得m即可得出．

解答 解：（Ⅰ）解：由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}$（θ為參數(shù)）可得$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
∴曲線C的直角坐標方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
由ρsin（θ+$\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$，得$ρ（{sinθcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$，
化簡得，ρsinθ+ρcosθ=2，
∴x+y=2．
∴直線l的直角坐標方程為x+y=2．
（Ⅱ）解法1：由于點Q是曲線C上的點，則可設點Q的坐標為$（{\sqrt{3}cosθ，sinθ}）$，
點Q到直線l的距離為$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosθ+sinθ-2}|}}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{|{2cos（{θ-\frac{π}{6}}）-2}|}}{{\sqrt{2}}}$．
當$cos（{θ-\frac{π}{6}}）=-1$時，${d_{max}}=\frac{4}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}$．
∴點Q到直線l的距離的最大值為$2\sqrt{2}$．
解法2：設與直線l平行的直線l'的方程為x+y=m，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得4x²-6mx+3m²-3=0，
令△=（6m）²-4×4×（3m²-3）=0，
解得m=±2．
∴直線l'的方程為x+y=-2，即x+y+2=0．
∴兩條平行直線l與l'之間的距離為$d=\frac{{|{2+2}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}$．
∴點Q到直線l的距離的最大值為$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直角坐標與極坐標的互化、參數(shù)方程化為普通方程及其應用、直線與橢圓相切問題、三角函數(shù)的和差公式及其單調(diào)性、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．