Question

14．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當0＜x≤1時，f（x）=3^x+1．
（Ⅰ）求f（0）和f（log₃2）的值；
（Ⅱ）當-1≤x≤1時，求f（x）的解析式（結(jié)果寫成分段函數(shù)形式）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（x）是定義在R上的奇函數(shù)求f（0）；根據(jù)當0＜x≤1時，f（x）=3^x+1，求f（log₃2）的值；
（Ⅱ）根據(jù)奇函數(shù)的定義進行求解即可求f（x）的解析式．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∵當0＜x≤1時，f（x）=3^x+1，
∴f（log₃2）=${3}^{lo{g}_{3}2}$+1=2+1=3；
（Ⅱ）設(shè)-1≤x＜0時，則0＜-x≤1，
∵當0＜x≤1時，f（x）=3^x+1，
∴f（-x）=3^-x+1，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-3^-x-1，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{3}^{-x}-1，-1≤x＜0}\\{0，x=0}\\{{3}^{x}+1，0＜x≤1}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了奇偶性的應(yīng)用．若已知一個函數(shù)為奇函數(shù)，則應(yīng)有其定義域關(guān)于原點對稱，且對定義域內(nèi)的一切x都有f（-x）=-f（x）成立．