2.已知f(x)=2x-ax2+bcosx在點(diǎn)$(\frac{π}{2},f(\frac{π}{2}))$處的切線方程為$y=\frac{3}{4}π$.
(1)求a,b的值及f(x)在[0,π]上的單調(diào)區(qū)間;
(2)若x1,x2∈[0,π],且x1≠x2,f(x1)=f(x2),求證$f'(\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2})<0$.

分析 (1)求導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)f(x)=2x+ax2+bcosx在點(diǎn)$(\frac{π}{2},f(\frac{π}{2}))$處的切線方程為y=$\frac{3}{4}$π,求a,b的值,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論f(x)在[0,π]上的增減性;
(2)由(Ⅰ)的單調(diào)性,設(shè)$F(x)=f(x)-f({π-x}),(0<x<\frac{π}{2})$,推導(dǎo)F(x)的單調(diào)性,由x2>π-x1,所以x1+x2>π,結(jié)合單調(diào)性,即可得證.

解答 解:(1)f(x)=2x-ax2+bcosx在點(diǎn)$(\frac{π}{2},f(\frac{π}{2}))$處的切線方程為y=$\frac{3}{4}$π,
f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2-2ax-bsinx,
可得$\left\{\begin{array}{l}{f(\frac{π}{2})=\frac{3}{4}π}\\{f′(\frac{π}{2})=0}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{π-\frac{a{π}^{2}}{4}=\frac{3π}{4}}\\{2-2a•\frac{π}{2}-b=0}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{π}}\\{b=1}\end{array}\right.$,
所以$f(x)=2x-\frac{1}{π}{x^2}+cosx,f'(x)=2-\frac{2}{π}x-sinx$,
①當(dāng)$0≤x≤\frac{π}{2}$時(shí),1-$\frac{2}{π}$x≥0,1-sinx≥0,可得f′(x)>0,所以f(x)在$[0,\frac{π}{2}]$為增函數(shù);
②當(dāng)$\frac{π}{2}<x≤π$時(shí),$sinx=sin(π-x)>\frac{2}{π}(π-x)=2-\frac{2}{π}x⇒f'(x)=2-\frac{2}{π}x-sinx<0$,
所以f(x)在$[\frac{π}{2},π]$為減函數(shù);
(2)由(1)得f(x)在$[0,\frac{π}{2}]$為增函數(shù),在$[\frac{π}{2},π]$上為減函數(shù),
所以$0≤{x_1}<\frac{π}{2}<{x_2}≤π$,由f'(x)在$[\frac{π}{2},π]$恒為負(fù),
$π>\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}>\frac{π}{2}⇒2π>{x_1}+{x_2}>π$,
設(shè)$F(x)=f(x)-f({π-x}),(0<x<\frac{π}{2})$,
則$F'(x)=f'(x)-f'({π-x})=(2-\frac{π}{2}x-sinx)-[2-\frac{2}{π}(π-x)-sinx]=\frac{2}{π}(π-x)-\frac{2}{π}x=2-\frac{4}{π}x$,
所以F'(x)>0,所以F(x)在$[0,\frac{π}{2}]$遞增,$F(x)<F(\frac{π}{2})=0$,
當(dāng)$0<x<\frac{π}{2}$時(shí),f(x)<f(π-x),所以f(x1)<f(π-x1),
又f(x2)=f(x1),所以$f({x_2})<f({π-{x_1}}),\frac{π}{2}<{x_2},π-{x_1}<π$,
又f(x)在$[\frac{π}{2},π]$上為減函數(shù),
所以x2>π-x1,所以x1+x2>π,
所以$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}>\frac{π}{2}$,
所以$f'(\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2})<0$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性,考查不等式的證明,難度大.

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