Question

20．證明：
（1）x＞0時，lnx≤x-1；
（2）x＞1時$\frac{x-1}{lnx}$＞$\frac{cosx}{sinx+\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 （1）設f（x）=lnx-（x-1），求得導數，判斷符號，可得單調性，即可得證；
（2）由（1）可得x＞1時$\frac{x-1}{lnx}$≥1，令$\frac{cosx}{sinx+\sqrt{2}}$=t，則cosx-tsinx=$\sqrt{2}$t，運用輔助角公式和余弦函數的值域即可得證．

解答 證明：（1）設f（x）=lnx-（x-1），
可得f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
當x＞1時，f′（x）＜0，可得f（x）遞減；
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，可得f（x）遞增．
可得x=1處f（x）取得極大值，且為最大值0，
即有f（x）≤0，即為lnx≤x-1；
（2）由（1）可得x＞1時$\frac{x-1}{lnx}$≥1，
令$\frac{cosx}{sinx+\sqrt{2}}$=t，則cosx-tsinx=$\sqrt{2}$t，
可得$\sqrt{1+{t}^{2}}$cos（x+θ）=$\sqrt{2}$t，
即有$\sqrt{2}$|t|≤$\sqrt{1+{t}^{2}}$，解得-1≤t≤1，
由于等號不同時成立，
則有x＞1時$\frac{x-1}{lnx}$＞$\frac{cosx}{sinx+\sqrt{2}}$成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用構造函數法，以及不等式的性質，考查導數的運用和輔助角公式，考查運算能力，屬于中檔題．