Question

10．設(shè)A、B是焦點(diǎn)為F（1，0）的拋物線y²=2px（p＞0）上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}$?$\overrightarrow{OB}$=0，則坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）到直線AB距離的最大值為4．

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的方程為x=my+b，代入拋物線方程消去x，求得y₁+y₁．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由•=x₁x₂+y₁y₂整理可得（m²+1）（-4b）+4m²b+b²=b²-4b=0，求得b的值，再根據(jù)原點(diǎn)到直線AB的距離為判斷當(dāng)m=0時(shí)距離最大，進(jìn)而求得答案．

解答 解：∵焦點(diǎn)為F（1，0）的拋物線y²=2px（p＞0），
∴$\frac{p}{2}$=1，
∴p=2，
即y²=4x，
設(shè)直線AB的方程為x=my+b，代入拋物線方程可得y²-4my-4b=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{OA}$?$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+b）（my₂+b）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+mb（y₁+y₂）+b²=（m²+1）（-4b）+4m²b+b²=b²-4b=0，
解之得b=4或b=0（舍去），
即直線AB的方程為x=my+4，原點(diǎn)到直線AB的距離為d=$\frac{4}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
當(dāng)m=0時(shí)，d_最大值=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．