Question

12．已知數(shù)列1²，-2²，3²，-4²，…，（-1）ⁿ⁺¹n²，…．
（1）計(jì)算S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，猜想S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

Answer 1

分析 （1）按照數(shù)列和的定義計(jì)算即可
（2）按照數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟進(jìn)行證明．

解答 解：（1）S₁=1，S₂=1-4=-3，S₃=-3+9=6，S₄=6-16=-10．
（2）猜想S_n=${（-1）^{n+1}}\frac{n（n+1）}{2}$．    
證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=S₁=1，右邊=${（-1）^2}\frac{1×2}{2}=1$，猜想成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即${1^2}-{2^2}+{3^2}-{4^2}+…+{（-1）^{k+1}}{k^2}={（-1）^{k+1}}\frac{k（k+1）}{2}$，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，1²-2²+3²-4²+…+（-1）^K+1k²+（-1）^K+2（k+1）²，
=（-1）^k+1$\frac{k（k+1）}{2}$+（-1）^K+2（k+1）²，
=${（-1）^{k+2}}[-\frac{k（k+1）}{2}+{（k+1）^2}]$，
=${（-1）^{k+2}}[（k+1）（-\frac{k}{2}+（k+1）]$，
=${（-1）^{k+2}}（k+1）（\frac{k+2}{2}）={（-1）^{k+2}}\frac{（k+1）（k+2）}{2}$．
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立． 
根據(jù)①②，可知猜想對(duì)任何n∈N*成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、數(shù)學(xué)歸納法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．