Question

1．圓錐SO的側(cè)面展開圖為如圖所示的半徑為4的半圓，半圓中∠ASC=45°．

①圓錐SO的體積；
②在圓錐母線SC上是否存在一點E，使得SC⊥平面OEA，若存在，求此時SE～EC的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 ①由題意，圓錐底面半徑為2，高$2\sqrt{3}$，即可求圓錐SO的體積；
②若在圓錐母線SC上存在一點E，使得SC⊥平面OEA，只需使SC⊥OE即可．

解答 解：①由題意，圓錐底面半徑為2，高$2\sqrt{3}$，
∴$V=\frac{1}{3}×4π×2\sqrt{3}=\frac{{8\sqrt{3}π}}{3}$…（3分）
②若在圓錐母線SC上存在一點E，使得SC⊥平面OEA，
∵OA⊥OC，SO⊥OA，
∴AO⊥面SOC，∴AO⊥SC，
則只需使SC⊥OE即可；…（5分）
在Rt△SOC中可求得此時SE=3，EC=1，在圓錐母線SC上存在一點E，
當SE：EC=3：1時，使得SC⊥平面OEA．…（8分）

點評 本題考查圓錐體積的計算，考查線面垂直，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．