Question

13．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+h（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)0＜x＜π，且方程f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍和這兩個(gè)根的和；
（3）在銳角△ABC中，若f（A）=3+$\sqrt{3}$，求f（B）+f（C）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由圖易知A=2，h=3，再由周期可得ω=2，再由x=$\frac{5π}{12}$時(shí)，f（x）取最大值5和范圍可得φ=-$\frac{π}{3}$，可得解析式；
（2）由圖象和對(duì)稱(chēng)性分類(lèi)討論可得；
（3）易得A=$\frac{π}{3}$，由三角函數(shù)公式可得f（B）+f（C）=2$\sqrt{3}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）+6，又可得$B∈（{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}）$，由三角函數(shù)的值域可得．

解答 解：（1）由圖易知A=2，h=3，
又$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$-（-$\frac{π}{3}$），∴ω=2，
又由圖知當(dāng)x=$\frac{5π}{12}$時(shí)，f（x）取最大值5，
∴2×$\frac{5π}{12}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=2kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
又$|φ|＜\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+3；
（2）∵f（0）=f（π）=3-$\sqrt{3}$，
由圖象知，要使方程f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，有1＜m＜5且$m≠3-\sqrt{3}$，
當(dāng)$1＜m＜3-\sqrt{3}$時(shí)，方程的兩根關(guān)于直線(xiàn)$x=\frac{11π}{12}$對(duì)稱(chēng)，則兩根之和為$\frac{11π}{6}$
當(dāng)$3-\sqrt{3}＜m＜5$時(shí)，方程的兩根關(guān)于直線(xiàn)$x=\frac{5π}{12}$對(duì)稱(chēng)，則兩根之和為$\frac{5π}{6}$；
（3）∵f（A）=3+$\sqrt{3}$，∴sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A為銳角，∴A=$\frac{π}{3}$
∴f（B）+f（C）=2sin（2B-$\frac{π}{3}$）+2sin（2C-$\frac{π}{3}$）+6
=2sin（2B-$\frac{π}{3}$）+2sin[2（$\frac{2π}{3}$-B）-$\frac{π}{3}$]+6
=sin2B-$\sqrt{3}$cos2B+2sin2B+6
=3sin2B-$\sqrt{3}$cos2B+6
=2$\sqrt{3}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）+6
又由銳角△ABC及A=$\frac{π}{3}$得$B∈（{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}）$，
∴2B-$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$）
∴sin（2B-$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（B）+f（C）∈（6+$\sqrt{3}$，6+2$\sqrt{3}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和解析式，涉及兩角和與差的三角函數(shù)公式和三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，屬中檔題．