Question

8．過拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，再過A、B分別作拋物線的切線l₁，l₂，設(shè)l₁與l₂的交點(diǎn)為P（x₀，y₀），則x₀的值（　�。�

• A． 0
• B． -p
• C． -$\frac{p}{2}$
• D． 不確定

Answer 1

分析 由拋物線方程求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由斜截式寫出過焦點(diǎn)的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立求出A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的積，再利用導(dǎo)數(shù)寫出過A，B兩點(diǎn)的切線方程，然后整體運(yùn)算可求得兩切線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值-$\frac{p}{2}$．

解答 解：由拋物線y²=2px得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（$\frac{p}{2}$，0）．
設(shè)A（$\frac{1}{2p}$y₁²，y₁），B（$\frac{1}{2p}$y₂²，y₂），
直線l：x=my+$\frac{p}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y}^{2}=2px\\ x=my+\frac{p}{2}\end{array}\right.$，得：y²-2pmy-p²=0．
∴y₁y₂=-p²…①．
又拋物線方程為：y²=2px，即x=$\frac{1}{2p}$y²，
求導(dǎo)得x′=$\frac{1}{p}y$，
∴拋物線過點(diǎn)A切線方程為x-$\frac{1}{2p}$y₁²=$\frac{1}{p}{y}_{1}$ （y-y₁）…②
拋物線過點(diǎn)B的切線方程為x-$\frac{1}{2p}$y₂²=$\frac{1}{p}{y}_{2}$（y-y₂）…③
由①②③得：x=-$\frac{p}{2}$．
∴l(xiāng)₁與l₂的交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x₀=-$\frac{p}{2}$，
故選：C

點(diǎn)評 本題考查了軌跡方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了整體運(yùn)算思想方法，是中檔題