Question

13．如圖所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面邊長為a，E是PC的中點．
（1）求證：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE；
（2）若二面角E-BD-C為30°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)EO，證明PA∥EO，可得PA∥面BDE；證明BD⊥平面PAC，可得平面PAC⊥平面BDE；
（2）求出四棱錐的高，即可求四棱錐P-ABCD的體積．

解答 （1）證明：連結(jié)EO
∵四邊形ABCD是正方形，O是正方形的中心
∴BD⊥AC=O，AO=CO
∵在△PAC中，E為PC的中點，∴PA∥EO
又∵EO?平面BDE，PA?平面BDE
∴PA∥平面BDE；
∵PO⊥底面ABCD，BD?平面ABCD
∴PO⊥BD
又∵BD⊥AC，AC∩PO=E，PO?平面PAC，AC?平面PAC
∴BD⊥平面PAC
又∵BD?平面BDE
∴平面PAC⊥平面BDE；
（2）解：由（1）可知，∠EOC=30°，∴∠OPC=60°，
∵底面邊長為a，
∴CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴PO=$\frac{\sqrt{6}}{6}$a，
∴四棱錐P-ABCD的體積=$\frac{1}{3}{a}^{2}•\frac{\sqrt{6}}{6}a$=$\frac{\sqrt{6}}{18}{a}^{3}$．

點評 本題考查線面平行，平面與平面垂直的判定，考查四棱錐P-ABCD的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．