Question

9．設數集A滿足：若x∈A（x≠1，x≠0），則$\frac{1}{1-x}$∈A
（1）若2∈A，試證明A中還有另外兩個元素；
（2）集合A是否為單元素集合，并說明埋由；
（3）若A中元素個數不超過8個，所有元素的和為$\frac{14}{3}$，且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合A．

Answer 1

分析 （1）根據集合的互異性進行求解，注意條件2∈A，把2代入進行驗證；
（2）可以假設A為單元素集合，求出其等價條件，從而進行判斷；
（3）先求出集合A中元素的個數，分別討論①若x²=1，②若（$\frac{1}{1-x}$）²=1，③${（\frac{x-1}{x}）}^{2}$=1的情況，求出x的值，從而求出集合A．

解答 （1）證明：若x∈A，則$\frac{1}{1-x}$∈A．
又∵2∈A，
∴$\frac{1}{1-2}$=-1∈A
∵-1∈A，∴$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$∈A．
∵$\frac{1}{2}$∈A，∴$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2∈A．
∴A中另外兩個元素為-1，$\frac{1}{2}$；
（2）若A為單元素集，則x=$\frac{1}{1-x}$，即x²-x+1=0，方程無解．
∴x≠$\frac{1}{1-x}$，
∴A不可能為單元素集；
（3）由x∈A，$\frac{1}{1-x}$∈A，
得：$\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}$=$\frac{x-1}{x}$∈A，
得：$\frac{1}{1-\frac{x-1}{x}}$=x∈A，
∴A={x，$\frac{1}{1-x}$，$\frac{x-1}{x}$}，
而x•$\frac{1}{1-x}$•$\frac{x-1}{x}$=1，
①若x²=1，解得：x=±1，不合題意，
②若（$\frac{1}{1-x}$）²=1，解得：x=0，不合題意，
∴只能${（\frac{x-1}{x}）}^{2}$=1，解得：x=$\frac{1}{2}$，
∴A={$\frac{1}{2}$，2，-1}．

點評 本題考查了元素和集合的關系，考查集合的含義，分類討論思想，是一道中檔題．