Question

10．若關(guān)于x的方程a^2x-2-a^x+3=0（1≠a＞0）有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 令a^x=t，則關(guān)于t的方程$\frac{1}{{a}^{2}}$t²-t+3=0在（0，+∞）上有解，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式解出a即可．

解答 解：設(shè)a^x=t，則t＞0，
∴關(guān)于t的方程$\frac{1}{{a}^{2}}$t²-t+3=0在（0，+∞）上有解，
設(shè)f（t）=$\frac{1}{{a}^{2}}$t²-t+3=$\frac{1}{{a}^{2}}$（t-$\frac{{a}^{2}}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
則f（t）的函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為t=$\frac{{a}^{2}}{2}$＞0，
∴$3-\frac{{a}^{2}}{4}$≤0，
解得：a$≥2\sqrt{3}$．

點評 本題考查了零點的存在性判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．