設(shè)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函數(shù)f（x）=
2x
2x+
2
圖象上的兩點(diǎn)，記點(diǎn)P（
1
2
，y0），且滿(mǎn)足
OP
=
1
2
（
OP1
+
OP2
）．
（1）求y0；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n
n
），其中n∈N*，求Sn；
（3）若
n
Sn+
2
＜a（Sn+1+
2
）對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和
專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出P為P1P2的中點(diǎn)，y1+y2=
2x1
2x1+
2
+
2x2
2x2+
2
=1，由此能求出y0=
y1+y2
2
=
1
2
．
（2）由（1）知x1+x2=1，y1+y2=1，f(1)=2-
2
，由此利用倒序相加求和法能求出Sn=
n+3-2
2
2
．
（3）由
n
Sn+
2
=
n
n+3
2
=
2n
n+3
，Sn+1+
2
=
n+4
2
，知
n
Sn+
2
＜a（Sn+1+
2
）對(duì)一切正整數(shù)n都成立，等價(jià)于a＞
2n
n+3
n+4
2
=
4
n+
12
n
+7
，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍是（
2
7
，+∞）．
解答： 解：（1）∵
OP
=
1
2
（
OP1
+
OP2
），∴P為P1P2的中點(diǎn)，
∵P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函數(shù)f（x）=
2x
2x+
2
圖象上的兩點(diǎn)，P（
1
2
，y0），
∴y1+y2=
2x1
2x1+
2
+
2x2
2x2+
2
=1，
∴y0=
y1+y2
2
=
1
2
．
（2）由（1）知x1+x2=1，y1+y2=1，f(1)=2-
2
，
∵Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n
n
），
∴Sn=f（
n
n
）+f（
n-1
n
）+…+f（
1
n
），
∴2Sn=f（1）+[f（
1
n
）+f（
n-1
n
）]+[f（
2
n
）+f（
n-2
n
）]+…+[f（
n-1
n
）+f（
1
n
）]+f（1）
=2f（1）+n-1
=2（2-
2
）+n-1
=n+3-2
2
，
∴Sn=
n+3-2
2
2
．
（3）∵
n
Sn+
2
=
n
n+3
2
=
2n
n+3
，Sn+1+
2
=
n+4
2
，
且
n
Sn+
2
＜a（Sn+1+
2
）對(duì)一切正整數(shù)n都成立，
∴a＞
2n
n+3
n+4
2
=
2n
n+3
×
2
n+4
=
4n
n2+7n+12

=
4
n+
12
n
+7
，
∴當(dāng)且僅當(dāng)n≈
12
n
，即n=4時(shí)，
a＞
4
4+
12
4
+7
=
2
7
．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（
2
7
，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的縱坐標(biāo)的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意倒序相加求和法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在（0，+∞）上是減函數(shù)的是（　�。�
A、y=
2
x
B、y=x2
C、y=x
D、y=-x+1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知x，y滿(mǎn)足條件
7x-5y-23≤0
x+7y-11≤0
4x+y+10≥0
，M（2，1），P（x，y），求：
（1）
y+7
x+4
的取值范圍；
（2）x2+y2的最大值和最小值；
（3）
OM
•
OP
的最大值；
（4）|
OP
|cos∠MOP的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

△ABC中，∠BAC是直角，AD是高，求證：如果BC=5CD，那么BC2=5AC2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）橢圓E2的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是橢圓E1長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)的
λ
倍（λ＞0，λ≠1）．
（Ⅰ）求橢圓E2的方程；并證明橢圓E1，E2的離心率相同；
（Ⅱ）當(dāng)λ=2時(shí)，設(shè)M，N是橢圓E1上的兩個(gè)點(diǎn)，OM，ON的斜率分別是kOM，kON，且kOM•kON=-
b2
a2
（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），若OMPN是平行四邊形，證明：點(diǎn)P在橢圓E2上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

按要求計(jì)算下列問(wèn)題：
（1）若方程mx2-（1-m）x+m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍？
（2）1736（8）轉(zhuǎn)換為六進(jìn)制數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，首項(xiàng)為a，對(duì)任意正整數(shù)n，an•an+1=
4n
2
恒成立．
（Ⅰ）若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）記bn為數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)的和，若對(duì)任意正整數(shù)n，不等式bn≤
11
4
（4n-1）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線(xiàn)x+3=0的距離少1
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F（2，0）作一條傾斜角為α的直線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)是M，直線(xiàn)OM的斜率kOM=f（α），求kOM=f（α）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

方程4x+
1
2
=12-2x+1的解x=
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案