Question

已知x，y滿足條件

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 4x+y+10≥0

，M（2，1），P（x，y），求：
（1）

y+7

x+4

的取值范圍；
（2）x²+y²的最大值和最小值；
（3）

OM

•

OP

的最大值；
（4）|

OP

|cos∠MOP的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：綜合題,數(shù)形結(jié)合,不等式的解法及應(yīng)用

分析：做出條件

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 4x+y+10≥0

，對(duì)應(yīng)的區(qū)域，分析各個(gè)問題中的幾何意義，結(jié)合圖形，即可得出結(jié)論．

解答： 解：條件

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 4x+y+10≥0

，對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖所示，A（4，1），B（-3，2），C（-1，-6），則
（1）

y+7

x+4

表示P（x，y）與（-4，-7）連線的斜率，
由k_PB=

2+7

-3+4

=9，k_PC=

-6+7

-1+4

=

1

3

，可得

y+7

x+4

的取值范圍[

1

3

，9]；
（2）x²+y²表示P（x，y）與原點(diǎn)距離的平方，
由（0，0）到直線7x-5y-23距離的平方為

232

49+25

=

529

74

，
∴可得x²+y²的最大值為

529

74

，最小值為0；
（3）

OM

•

OP

=2x+y表示直線的縱截距，在A（4，1）處，

OM

•

OP

的最大值為9；
（4）

OM

•

OP

的最小值，在C（-1，-6）處取得為-8，
∵

OM

•

OP

=|

OM

||

OP

|cos∠MOP
∴|

OP

|cos∠MOP的最小值為

-8

5

=-

8 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是關(guān)鍵．