Question

已知左焦點(diǎn)為F(-1,0)的橢圓過(guò)點(diǎn)E（1,）.過(guò)點(diǎn)P(1,1)分別作斜率為k1,k2的橢圓的動(dòng)弦AB,CD,設(shè)M,N分別為線段AB,CD的中點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若P為線段AB的中點(diǎn),求k1;

(3)若k1+k2=1,求證直線MN恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

解:(1)依題設(shè)c=1,且右焦點(diǎn)F′(1,0).

所以2a=|EF|+|EF′|=+

=2,

b2=a2-c2=2,

故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

則+=1,①

+=1.②

②-①,得+=0.

所以k1==-=-=-.

(3)依題設(shè),k1≠k2.

設(shè)M(xM,yM),

又直線AB的方程為y-1=k1(x-1),

即y=k1x+(1-k1),

亦即y=k1x+k2,

代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得(2+3)x2+6k1k2x+3-6=0.

于是,xM=,yM=,

同理,xN=,yN=.

當(dāng)k1k2≠0時(shí),

直線MN的斜率k==

=.

直線MN的方程為y-=(x-),

即y=x+(·+),

亦即y=x-.

此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)（0,-）.

當(dāng)k1k2=0時(shí),直線MN即為y軸,

此時(shí)亦過(guò)點(diǎn)（0,-）.

綜上,直線MN恒過(guò)定點(diǎn),且坐標(biāo)為（0,-）.