Question

18．已知命題p：a²＜a（a∈R），命題q：對任意x∈R，都有x²+4ax+1≥0（a∈R）
（1）若命題p且q為假，p或q為真，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若命題p，q為真時，實數(shù)a的取值集合分別為集合M和集合N，則“x∈M或x∈N”是“x∈（M∩N）”的什么條件？并說明理由（提示：充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，既不充分又不必要條件）

Answer 1

分析 （1）分別求出p，q分別為真，假命題時的a的范圍，取交集，從而求出a的范圍；（2）求出集合M、N和M∩N，從而判斷出結(jié)論．

解答 解：（1）∵命題p：a²＜a，解得；0＜a＜1，若p假：則a≤0或a≥1，
命題q：對任何x∈R，都有x²+4ax+1≥0，解得：-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$，若q假，則a＜-$\frac{1}{2}$或a＞$\frac{1}{2}$，
∵命題p與命題q中有且只有一個成立，
0＜a＜1； a＜-$\frac{1}{2}$或a＞$\frac{1}{2}$，取二者交集$\frac{1}{2}$＜a＜1，
a≤0或a≥1；-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$，取二者交集-$\frac{1}{2}$≤a≤0，
∴實數(shù)a的取值范圍：$\frac{1}{2}$＜a＜1，或-$\frac{1}{2}$≤a≤0；
（2）命題p為真時：0＜a＜1，
∴M={a|0＜a＜1}；
命題q為真時：-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$，
∴N={a|-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$}，
∴M∩N={a|0＜a≤$\frac{1}{2}$}；
∴x∈M或x∈N”是“x∈（M∩N）”的必要不充分條件．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．