Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的最小值是4，最大值是$2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 通過(guò)記∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{5+4cosα}$、|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{5-4cosα}$，進(jìn)而換元，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：記∠AOB=α，則0≤α≤π，如圖，
由余弦定理可得：
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{5+4cosα}$，
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{5-4cosα}$，
令x=$\sqrt{5-4cosα}$，y=$\sqrt{5+4cosα}$，
則x²+y²=10（x、y≥1），其圖象為一段圓弧MN，如圖，
令z=x+y，則y=-x+z，
則直線y=-x+z過(guò)M、N時(shí)z最小為z_min=1+3=3+1=4，
當(dāng)直線y=-x+z與圓弧MN相切時(shí)z最大，
由平面幾何知識(shí)易知z_max即為原點(diǎn)到切線的距離的$\sqrt{2}$倍，
也就是圓弧MN所在圓的半徑的$\sqrt{2}$倍，
所以z_max=$\sqrt{2}$×$\sqrt{10}$=$2\sqrt{5}$．
綜上所述，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的最小值是4，最大值是$2\sqrt{5}$．
故答案為：4、$2\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合能力，考查運(yùn)算求解能力，涉及余弦定理、線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．