Question

20．已知函數f（x）=ax²-x+2a-1（a＞0）．
（1）若f（x）在區(qū)間[1，2]為單調增函數，求a的取值范圍；
（2）設函數f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式；
（3）設函數$h（x）={（\frac{1}{2}）^x}+{log_2}\frac{1}{x+1}$，若對任意x₁，x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥h（x₂）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若f（x）在區(qū)間[1，2]為單調增函數，則$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≤1}\\{a＞0}\end{array}}\right.$，解得a的取值范圍；
（2）分類討論給定區(qū)間與對稱軸的關系，分析出各種情況下g（x）的表達式，綜合討論結果，可得答案；
（3）不等式f（x₁）≥h（x₂）恒成立，即f（x）_min≥h（x）_max，分類討論各種情況下實數a的取值，綜合討論結果，可得答案．

解答 解：（1）∵函數f（x）=ax²-x+2a-1（a＞0）的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{1}{2a}$為對稱軸的拋物線，
若f（x）在區(qū)間[1，2]為單調增函數
則$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≤1}\\{a＞0}\end{array}}\right.$，
解得：$a≥\frac{1}{2}$…（2分）
（2）①當0＜$\frac{1}{2a}$＜1，即a＞$\frac{1}{2}$時，f（x）在區(qū)間[1，2]上為增函數，
此時g（a）=f（1）=3a-2…（6分）
②當1≤$\frac{1}{2a}$≤2，即$\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}$時，f（x）在區(qū)間[1，$\frac{1}{2a}$]是減函數，在區(qū)間[$\frac{1}{2a}$，2]上為增函數，
此時g（a）=f（$\frac{1}{2a}$）=$2a-\frac{1}{4a}-1$…（7分）
③當$\frac{1}{2a}$＞2，即0＜a＜$\frac{1}{4}$時，f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數，
此時g（a）=f（2）=6a-3…（8分）

綜上所述：$g（a）=\left\{\begin{array}{l}6a-3，a∈（{0，\frac{1}{4}}）\\ 2a-\frac{1}{4a}-1，a∈[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]\\ 3a-2，a∈（{\frac{1}{2}，+∞}）\end{array}\right.$…（10分）
（3）對任意x₁，x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥h（x₂）恒成立，
即f（x）_min≥h（x）_max，
由（2）知，f（x）_min=g（a）
又因為函數$h（x）={（\frac{1}{2}）^x}+{log_2}\frac{1}{x+1}={（{\frac{1}{2}}）^x}+{log_{\frac{1}{2}}}（x+1）$，
所以函數h（x）在[1，2]上為單調減函數，所以$h{（x）_{max}}=h（1）=\frac{1}{2}+{log_{\frac{1}{2}}}2=-\frac{1}{2}$，…（12分）

①當$0＜a＜\frac{1}{4}$時，由g（a）≥h（x）_max得：$6a-3≥-\frac{1}{2}$，解得$a≥\frac{5}{12}$，（舍去）…（13分）
②當$\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}$時，由g（a）≥h（x）_max得：$2a-\frac{1}{4a}-1≥-\frac{1}{2}$，即8a²-2a-1≥0，
∴（4a+1）（2a-1）≥0，解得$a≥\frac{1}{2}或a≤-\frac{1}{4}$
所以$a=\frac{1}{2}$…（5分）
③當$\frac{1}{2}＜a$時，由g（a）≥h（x）_max得：$3a-2≥-\frac{1}{2}$，解得$a≥\frac{1}{2}$，
所以a$＞\frac{1}{2}$
綜上所述：實數a的取值范圍為$[{\frac{1}{2}，+∞}）$…（16分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．