Question

18．已知a＞0 b＞0．a(chǎn)、b的等差中項是$\frac{1}{2}$，且x=a+$\frac{1}{a}$，y=b+$\frac{1}$，則xy的最小值是$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 a、b的等差中項是$\frac{1}{2}$，可得a+b=1．又a＞0 b＞0，設(shè)a=cos²θ，b=sin²θ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．可得xy=$\frac{si{n}^{2}2θ}{4}$+$\frac{8}{si{n}^{2}2θ}$-2，令sin²2θ=t，可得sin2θ∈（0，1]，t∈（0，1]，xy=$\frac{t}{4}+\frac{8}{t}$-2=f（t），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵a、b的等差中項是$\frac{1}{2}$，
∴a+b=1．
又a＞0 b＞0，
設(shè)a=cos²θ，b=sin²θ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．
x=a+$\frac{1}{a}$，y=b+$\frac{1}$，
則xy=$（co{s}^{2}θ+\frac{1}{co{s}^{2}θ}）（si{n}^{2}θ+\frac{1}{si{n}^{2}θ}）$
=$\frac{si{n}^{2}2θ}{4}$+$\frac{8}{si{n}^{2}2θ}$-2，
令sin²2θ=t，
∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，∴（2θ∈（0，π）），
∴sin2θ∈（0，1]，∴t∈（0，1]．
∴xy=$\frac{t}{4}+\frac{8}{t}$-2=f（t），
∴f′（t）=$\frac{1}{4}-\frac{8}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-32}{4{t}^{2}}$＜0，
∴函數(shù)f（t）在t∈（0，1]上單調(diào)遞減，
∴f（t）≥f（1）=$\frac{25}{4}$．當(dāng)且僅當(dāng)t=1即$θ=\frac{π}{4}$，即a=b=$\frac{1}{2}$時取等號．
故答案為：$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)換元法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．