Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

k

x

，k∈R．
（1）若k=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥2+

1-e

x

恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）若k=1，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）將不等式f（x）≥2+

1-e

x

恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法求函數(shù)的最值，求實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）若k=1，則f（x）=lnx+

1

x

的定義域為（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
由f′（x）=

x-1

x2

＞0，解得x＞1，
f′（x）=

x-1

x2

＜0，解得0＜x＜1，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）；
（2）若f（x）≥2+

1-e

x

恒成立，
即lnx+

k

x

≥2+

1-e

x

，
則k≥2x+1-e-xlnx，
設(shè)g（x）=2x+1-e-xlnx，
則g′（x）=2-（1+lnx）=1-lnx，
當(dāng)x＞e，則g′（x）=1-lnx＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜x＜e，則g′（x）=1-lnx＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
即當(dāng)x=e時，g（x）取得極大值，同時也是最大值g（e）=2e+1-e-e=1，
則k≥1，
即k的取值范圍是k≥1．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法是解決本題的關(guān)鍵．