Question

1．設(shè)函數(shù)$y=3sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}））$的最小正周期為$\frac{π}{2}$，且其圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{12}$對稱，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的編號為②③（把你認(rèn)為正確的結(jié)論編號都填上）；   
①圖象關(guān)于直線$x=-\frac{π}{8}$對稱； ②圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{5π}{24}，0）$對稱；③在$[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$上是減函數(shù)； ④在$[-\frac{π}{3}，0]$上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 由周期求得ω，由y的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{12}$對稱，可得φ的值，可得函數(shù)的解析式為 y=3sin（4x+$\frac{π}{6}$）．再根據(jù)函數(shù)y的解析式，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：由題意可得$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=4．
再根據(jù)函數(shù)y的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{12}$對稱，可得4×$\frac{π}{12}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故φ=$\frac{π}{6}$，故函數(shù)的解析式為 y=3sin（4x+$\frac{π}{6}$）．
令x=-$\frac{π}{8}$，求得y=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，不是最值，故函數(shù)的圖象不關(guān)于直線$x=-\frac{π}{8}$對稱，故①不正確．
令x=$\frac{5π}{24}$，求得y=0，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{5π}{24}，0）$對稱，故②正確．
在$[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$上，4x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{5π}{6}$，$\frac{3π}{2}$]，y=3sin（4x+$\frac{π}{6}$）是減函數(shù)，故③正確．
在$[-\frac{π}{3}，0]$上，4x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{7π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，y=3sin（4x+$\frac{π}{6}$）不是減函數(shù)，故④不正確，
故答案為：②③．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．