【題目】已知函數(shù)(, 為常數(shù)),函數(shù)(為自然對數(shù)的底).
(1)討論函數(shù)的極值點的個數(shù);
(2)若不等式對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析(2)
【解析】試題(1)求得,分三種情況討論,分別研究函數(shù)的單調性進而可得函數(shù)極值點的個數(shù);(2)不等式對恒成立,等價于只需研究函數(shù)的最小值不小于零即可.
試題解析:(1) ,
由得: ,記,則,
由得,且時, , 時, ,
所以當時, 取得最大值,又,
(i)當時, 恒成立,函數(shù)無極值點;
(ii)當時, 有兩個解, ,且時, , 時, , 時, ,所以函數(shù)有兩個極值點;
(iii)當時,方程有一個解,且時, 時, ,所以函數(shù)有一個極值點;
(2)記 ,
由,
, ,
由,
又當, 時, ,
, 在區(qū)間上單調遞增,
所以恒成立,即恒成立,
綜上實數(shù)的取值范圍是.
【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問題,屬于難題.不等式恒成立問題常見方法:① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立(即可);② 數(shù)形結合(圖象在 上方即可);③ 討論最值或恒成立;④ 討論參數(shù).本題是利用方法 ③ 求得的范圍的.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】橢圓:的左焦點為且離心率為,為橢圓上任意一點,的取值范圍為,.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,設圓是圓心在橢圓上且半徑為的動圓,過原點作圓的兩條切線,分別交橢圓于,兩點.是否存在使得直線與直線的斜率之積為定值?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知橢圓的焦距與短軸長相等,長軸長為,設過右焦點F傾斜角為的直線交橢圓M于A、B兩點.
(1)求橢圓M的方程;
(2)求證:
(3)設過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C、D,求四邊形ABCD面積的最小值.
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【題目】在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C的極坐標方程為=(>0),過點的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線與曲線C相交于A,B兩點.
(Ⅰ)寫出曲線C的直角坐標方程和直線的普通方程;
(Ⅱ)若,求的值.
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【題目】每個國家對退休年齡都有不一樣的規(guī)定,從2018年開始,我國關于延遲退休的話題一直在網上熱議,為了了解市民對“延遲退休”的態(tài)度,現(xiàn)從某地市民中隨機選取100人進行調查,調查情況如下表:
年齡段(單位:歲) | ||||||
被調查的人數(shù) | ||||||
贊成的人數(shù) |
(1)從贊成“延遲退休”的人中任選1人,此人年齡在的概率為,求出表格中的值;
(2)若從年齡在的參與調查的市民中按照是否贊成“延遲退休”進行分層抽樣,從中抽取10人參與某項調查,然后再從這10人中隨機抽取4人參加座談會,記這4人中贊成“延遲退休”的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】某地實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略,對農副產品進行深加工以提高產品附加值,已知某農產品成本為每件3元,加工后的試營銷期間,對該產品的價格與銷售量統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù):
單價x(元) | 6 | 6.2 | 6.4 | 6.6 | 6.8 | 7 |
銷量y(萬件) | 80 | 74 | 73 | 70 | 65 | 58 |
數(shù)據(jù)顯示單價x與對應的銷量y滿足線性相關關系.
(1)求銷量y(件)關于單價x(元)的線性回歸方程;
(2)根據(jù)銷量y關于單價x的線性回歸方程,要使加工后收益P最大,應將單價定為多少元?(產品收益=銷售收入-成本).
參考公式:==,
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