Question

12．設(shè)直線(xiàn)l：3x+4y+a=0，圓C：（x-2）²+y²=4，若在直線(xiàn)l上存在一點(diǎn)M，使得過(guò)M的圓C的切線(xiàn)MP，MQ（P，Q為切點(diǎn)）滿(mǎn)足∠PMQ=90°，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [-18，6]
• B． [6-5$\sqrt{2}$，6+5$\sqrt{2}$]
• C． [-16，4]
• D． [-6-5$\sqrt{2}$，-6+5$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 由切線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和圓的知識(shí)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需直線(xiàn)l到C（2，0）的距離小于或等于2，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式解a的不等式可得．

解答 解：∵在直線(xiàn)l上存在一點(diǎn)M，使得過(guò)M的圓C的切線(xiàn)MP，MQ（P，Q為切點(diǎn)）滿(mǎn)足∠PMQ=90°，
∴在直線(xiàn)l上存在一點(diǎn)M，使得過(guò)M到C（2，0）的距離等于2，
∴只需直線(xiàn)l到C（2，0）的距離小于或等于2，
故$\frac{|3×2+4×0+a|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$≤$\sqrt{2}$，解得-16≤a≤4，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合并轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離小于或等于2是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．