Question

17．直線l：ax+$\frac{1}{a}$y-1=0與x，y軸的交點分別為A，B，直線l與圓O：x²+y²=1的交點為C，D，給出下面三個結論：
①?a≥1，S_△AOB=$\frac{1}{2}$；②?a≥1，|AB|＜|CD|；③?a≥1，S_△COD＜$\frac{1}{2}$．
其中，所有正確結論的序號是（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①當a≥1時，分別可得直線的截距，由三角形的面積公式易得結論①正確；②當a≥1時，反證法可得結論②錯誤；③由三角形的面積公式可得S_△COD=$\frac{1}{2}$sin∠AOC≤$\frac{1}{2}$，可得結論③正確．

解答 解：①當a≥1時，把x=0代入直線方程可得y=a，把y=0代入直線方程可得x=$\frac{1}{a}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2}$，故結論①正確；
②當a≥1時，|AB|=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$，故|AB|²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$，
直線l可化為a²x+y-a=0，圓心O到l的距離d=$\frac{|-a|}{\sqrt{{a}^{4}+1}}$
=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{4}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}}$，故|CD|²=4（1-d²）=4[1-（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）]，
假設|AB|＜|CD|，則|AB|²＜|CD|²，即a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$＜4（1-$\frac{1}{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$），
整理可得（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）²-4（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）+4＜0，即（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$-2）²＜0，
顯然矛盾，故結論②錯誤；
S_△COD=$\frac{1}{2}$|OA||OC|sin∠AOC=$\frac{1}{2}$sin∠AOC≤$\frac{1}{2}$，
故?a≥1，使得S_△COD＜$\frac{1}{2}$，結論③正確．
故選：C．

點評 本題考查直線和圓的位置關系，涉及基本不等式和三角形的面積公式，屬中檔題．