Question

20．將函數(shù)f（x）的圖象向左平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）個單位后得到函數(shù)g（x）=sin2x的圖象，若對滿足|f（x₁）-g（x₂）|=2的x₁，x₂，有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{3}$，則φ=（　�。�

• A． $\frac{5π}{12}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的最值，求出自變量x₁，x₂的值，然后判斷選項即可；也可結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{2}$-φ=$\frac{π}{3}$，從而解得φ的值．

解答 解：法一，因為將函數(shù)g（x）=sin2x的周期為π，函數(shù)的圖象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）個單位后得到函數(shù)f（x）=sin（2x-2φ）的圖象．
若對滿足|f（x₁）-g（x₂）|=2的可知，兩個函數(shù)的最大值與最小值的差為2，有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{3}$，
不妨設：x₂=$\frac{π}{4}$，x₁=$\frac{7π}{12}$，即f（x）在x₁=$\frac{7π}{12}$，取得最小值，sin（2×$\frac{7π}{12}$-2φ）=-1，此時φ=$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z，由于0＜φ＜$\frac{π}{2}$，不合題意，
不妨設：x₂=$\frac{π}{4}$，x₁=-$\frac{π}{12}$，即f（x）在x₁=-$\frac{π}{12}$，取得最小值，sin[2×（-$\frac{π}{12}$）-2φ]=-1，此時φ=$\frac{π}{6}$-kπ，k∈Z，當k=0時，φ=$\frac{π}{6}$滿足題意．
法二，因為將函數(shù)g（x）=sin2x的周期為π，函數(shù)的圖象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）個單位后得到函數(shù)f（x）=sin2（x-φ）的圖象．
若對滿足|f（x₁）-g（x₂）|=2的可知，兩個函數(shù)的最大值與最小值的差為2，有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{3}$，
由題意可得：有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{2}$-φ=$\frac{π}{3}$，
 結(jié)合范圍0＜φ＜$\frac{π}{2}$，解得：φ=$\frac{π}{6}$．
故選：D．

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象平移，函數(shù)的最值以及函數(shù)的周期的應用，考查分析問題解決問題的能力，是好題，題目新穎．有一定難度，選擇題，可以回代驗證的方法快速解答．