12.棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,E,F(xiàn)分別為棱AB,A1D1的中點(diǎn),則經(jīng)過E,F(xiàn)球的截面面積的最小值為( 。
A.$\frac{3}{8}$πB.$\frac{π}{2}$C.$\frac{5}{8}$πD.$\frac{7}{8}$π

分析 先求球的半徑,再求EF,球心到截面圓的距離,OP,然后求出截面圓的半徑,就是圖中QP即可得出結(jié)論.

解答 解:因?yàn)檎襟w內(nèi)接于球,所以2R=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{1}^{1}}$=$\sqrt{3}$,R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
過球心O和點(diǎn)E、F的大圓的截面圖如圖所示,
則直線被球截得的線段為QR,過點(diǎn)O作OP⊥QR,垂足為點(diǎn)P,EF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
OP=$\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}-(\frac{\sqrt{6}}{4})^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$,
所以,在△QPO中,QP=$\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}-(\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$.
所以所求經(jīng)過E、F的平面截球O所得的截面的面積的最小值是:$π•(\frac{\sqrt{10}}{4})^{2}$=$\frac{5}{8}π$.

故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查組合體的結(jié)構(gòu)特征,球的內(nèi)接多面體,截面圓的面積,考查空間想象能力,計(jì)算能力,是中檔題.

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