Question

在△ABC中，已知cosB=

2 5

5

，cosC=-

5

5

，△ABC的面積S_ABC=1，a，b，c是角A、B、C的對邊，求a，b，c．

Answer 1

分析：由cosB與cosC的值，以及B與C為三角形內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB與sinC的值，利用正弦定理列出關(guān)系式，將sinB與sinC的值代入得到b與c的關(guān)系式，如圖所示得到a=ccosB+bcosC，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將各自的值代入得到關(guān)于b與c的關(guān)系式，聯(lián)立兩關(guān)系式求出b與c的值，即可確定出a的值．

解答：解：∵cosB=

2 5

5

，cosC=-

5

5

，B與C為三角形的內(nèi)角，
∴sinB=

1-cos2B

=

5

5

，sinC=

1-cos2C

=

2 5

5

，
根據(jù)題意定理得：

b

sinB

=

c

sinC

，即bsinC=csinB，
∴2b=c   ①，
∵a=ccosB+bcosC，S_△ABC=1，
∴

1

2

acsinB=1，即

1

2

×（

2 5

5

c-

5

5

b）×c×

5

5

=1，
∴2c²-bc=10   ②，
聯(lián)立①②，解得：b=

15

3

，c=

2 15

3

，
則a=

5 3

3

，b=

15

3

，c=

2 15

3

．

點評：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，三角形的面積公式，正弦定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．