Question

20．點P在曲線E：y=e^x上，若存在過P的直線交曲線E于另一點A，交直線l：y=x-1于點B，且|PA|=|AB|，則稱點P為“好點”，那么下列結論中正確的是（　�。�

• A． 曲線E上的所有點都是“好點”
• B． 曲線E上僅有有限個點是“好點”
• C． 曲線E上的所有點都不是“好點”
• D． 曲線E上有無窮多個點（但不是所有的點）是“好點”

Answer 1

分析 設P（x₁，e^x₁），A（x₂，e^x₂），直線PA的方程為y=kx+m，k≠1，聯(lián)立直線y=x-1，求得交點B，運用中點坐標公式，結合函數y=x-e^x的值域，可得方程2（x₂-e^x₂）=（x₁-e^x₁）+1的解的情況，進而得到結論．

解答 解：設P（x₁，e^x₁），A（x₂，e^x₂），
直線PA的方程為y=kx+m，k≠1，
聯(lián)立直線y=x-1，
可得交點B（$\frac{1+m}{1-k}$，$\frac{m+k}{1-k}$），
由|PA|=|AB|，可知A為PB的中點，
則2x₂=x₁+$\frac{1+m}{1-k}$，
2e^x₂=e^x₁+$\frac{m+k}{1-k}$，
兩式相減可得，2（x₂-e^x₂）=（x₁-e^x₁）+1，①
由函數y=x-e^x的導數為y′=1-e^x，
當x＞0時，函數y=x-e^x遞減，
當x＜0時，函數y=x-e^x遞增，
即有x=0處，y=x-e^x，取得最大值-1，
可得①左邊≤-2，右邊≤0．
當x₁=0時，①的右邊為0，方程①的x₂不存在；
當x₁=-1時，①的右邊為-e^-1，方程①的x₂不存在；
當①的右邊≤-2時，方程①有無窮多個解．
故選D．

點評 本題主要考查新定義的理解和運用，考查直線與曲線的關系，直線與直線的交點和中點坐標公式的運用，以及方程有解的條件，解題的關鍵是討論方程兩邊的范圍．