Question

設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為x_n，則log₂₀₁₁x₁+log₂₀₁₁x₂+log₂₀₁₁x₃+…+log₂₀₁₁x₂₀₀₉+log₂₀₁₁x₂₀₁₀的值為（　�。�

A．-log₂₀₁₀2009

B．-1

C．（（log₂₀₁₀2009）-1

D．1

Answer 1

分析：由導數(shù)的幾何意義先求切線的斜率k，可得過（1，1）的切線方程，在切線方程中令y=0，可得x_n，然后根據(jù)對數(shù)的運算法則計算即可得到結(jié)論．

解答：解：求導函數(shù)，可得f′（x）=（n+1）xⁿ
設(shè)過（1，1）的切線斜率k，則k=f′（1）=n+1，∴切線方程為y-1=（n+1）（x-1）
令y=0，可得xn=

n

n+1

∴x1•x2…x2010=

1

2

•

2

3

• …

2010

2011

=

1

2011

∴l(xiāng)og₂₀₁₁x₁+log₂₀₁₁x₂+…+log₂₀₁₁x₂₀₁₀=log2011(x1•x2…x2010) =log2011

1

2011

=-1
故選 B

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義及過某一定點的切線方程，考查對數(shù)的運算法則，解題的關(guān)鍵是正確運用對數(shù)的運算法則．