Question

7．如圖所示，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E．M．N．G分別是AA₁，CD，CB，CC₁的中點(diǎn)，求證：
（1）MN∥B₁D₁．
（2）AC₁∥平面EB₁D₁．
（3）平面EB₁D₁∥平面BDG．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)B₁D₁，由中位線可得MN∥BD，由平行六面體的性質(zhì)可得四邊形BB₁D₁D是平行四邊形，可得B₁D₁∥BD，由平行公理可得MN∥B₁D₁；
（2）連A₁C₁，A₁C₁交B₁D₁與點(diǎn)O，則點(diǎn)O是A₁C₁的中點(diǎn)，可證EO∥AC₁，由直線與平面平行的判定定理證明AC₁∥平面EB₁D₁；
（2）由已知得B₁D₁∥BD，直線與平面平行的判定定理可證B₁D₁∥平面BDG，連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)P，由三角形中位線定理和平行公式得OE∥PG，可證OE∥平面BDG，由面面平行的判定定理證明平面EB₁D₁∥平面BDG．

解答 證明：（1）連結(jié)B₁D₁，
∵M(jìn)、N分別是CD、CB的中點(diǎn)，∴MN是△BCD的中位線，
∴MN∥BD，
∵在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有BB₁∥D₁D，BB₁=D₁D，
∴四邊形BB₁D₁D是平行四邊形，∴B₁D₁∥BD，
∴MN∥B₁D₁；
（2）連結(jié)A₁C₁，設(shè)與連結(jié)B₁D₁交于點(diǎn)O，
∵四邊形A₁B₁C₁D₁為平行四邊形，∴點(diǎn)O是A₁C₁的中點(diǎn)，
又∵E是AA₁的中點(diǎn)，
∴EO是△AA₁C₁的中位線，∴EO∥AC₁
又∵AC₁?面EB₁D₁，EO?面EB₁D₁，∴AC₁∥平面EB₁D₁．
（3）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)P，則P是AC中點(diǎn)，連結(jié)PG，
在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有B₁D₁∥BD，
∵B₁D₁?平面EB₁D₁，B₁D₁?平面BDG，
∴B₁D₁∥平面BDG，
由（2）得OE∥AC₁，
∵P、G分別是AC、CC₁的中點(diǎn)，∴PG∥AC₁，
∴OE∥PG，
∵OE?平面EB₁D₁，OE?平面BDG，∴OE∥平面BDG，
∵OE∩B₁D₁=O，OE?平面EB₁D₁，B₁D₁?平面EB₁D₁，
∴平面EB₁D₁∥平面BDG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行以及平面與平面平行的判定定理，以及中位線、平行六面體的性質(zhì)，屬于中檔題．