Question

14．直線y=x+m與雙曲線2x²-y²=2交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓過原點，求m的值及弦AB的長．

Answer 1

分析 聯(lián)立直線和雙曲線的方程，化為關于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關系求出A，B兩點的橫縱坐標的積，由以AB為直徑的圓經過坐標原點得到x₁x₂+y₁y₂=0，代入后即可求得m的值．然后利用弦長公式求解即可．

解答 解：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{2{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去y得，x²-2mx-2-m²=0．
∵直線y=x+m與雙曲線2x²-y²=2相交于A，B兩點，
由△=（-2m）²+4（2+m²）=8+8m²＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=2m，x₁x₂=-2-m²．
所以y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=2m²-2，
因為以AB為直徑的圓經過坐標原點，
即為$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
所以x₁x₂+y₁y₂=0．
即-2-m²+2m²-2=0，
解得m=±2．
所以m的值是±2．
弦AB的長：$\sqrt{1+{1}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}×$$\sqrt{4{m}^{2}-4（-2-{m}^{2}）}$=$\sqrt{2}×$$\sqrt{16+24}$=4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了數(shù)學轉化思想方法，訓練了利用數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關系，是中檔題．