分析 聯(lián)立直線和雙曲線的方程,化為關(guān)于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關(guān)系求出A,B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積,由以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)得到x1x2+y1y2=0,代入后即可求得m的值.然后利用弦長公式求解即可.
解答 解:聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{2{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$,消去y得,x2-2mx-2-m2=0.
∵直線y=x+m與雙曲線2x2-y2=2相交于A,B兩點(diǎn),
由△=(-2m)2+4(2+m2)=8+8m2>0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
則x1+x2=2m,x1x2=-2-m2.
所以y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=2m2-2,
因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),
即為$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0,
所以x1x2+y1y2=0.
即-2-m2+2m2-2=0,
解得m=±2.
所以m的值是±2.
弦AB的長:$\sqrt{1+{1}^{2}}$|x1-x2|=$\sqrt{2}×$$\sqrt{4{m}^{2}-4(-2-{m}^{2})}$=$\sqrt{2}×$$\sqrt{16+24}$=4$\sqrt{5}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,訓(xùn)練了利用數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系,是中檔題.
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