Question

已知拋物線C：y²=4x，直線l：y=-x+b與拋物線C交于A，B兩點．
（Ⅰ）若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程；
（Ⅱ）若直線l與y軸負半軸相交，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）聯(lián)立

y=-x+b y2=4x

，得y²+4y-4b=0．由此利用根的判別式、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出圓的方程．
（Ⅱ）由直線l與y軸負半軸相交，得-1＜b＜0，由點O到直線l的距離d=

|b|

2

，得S△AOB=

1

2

|AB|d=

1

2

2(16+16b)

|b|

2

=2

b2(1+b)

．由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出△AOB的面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）聯(lián)立

y=-x+b y2=4x

，
消x并化簡整理得y²+4y-4b=0．
依題意應有△=16+16b＞0，解得b＞-1．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4b，
設圓心Q（x₀，y₀），則應有x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

=-2．
∵以AB為直徑的圓與x軸相切，
得到圓半徑為r=|y₀|=2，
又|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+1)(y1-y2)2

=

2(16+16b)

．
∴|AB|=2r=

2(16+16b)

=4，解得b=-

1

2

．
∴x0=

x1+x2

2

=

-y1+b-y2+b

2

=

3

2

，∴圓心為(

3

2

，-2)．
故所求圓的方程為(x-

3

2

)2+(y+2)2=4．
（Ⅱ）∵直線l與y軸負半軸相交，∴b＜0，
又直線l與拋物線交于兩點，由（Ⅰ）知b＞-1，∴-1＜b＜0，
點O到直線l的距離d=

|b|

2

，
∴S△AOB=

1

2

|AB|d=

1

2

2(16+16b)

|b|

2

=2

b2(1+b)

．
令g（b）=b²（1+b）=b²+b³，-1＜b＜0，
g′(b)=3b2+2b=3b(b+

2

3

)，
∴g（b）在(-1，-

2

3

)增函數(shù)，在(-

2

3

，0)是減函數(shù)，
∴g（b）的最大值為g(-

2

3

)=

4

27

．
∴當b=-

2

3

時，△AOB的面積取得最大值

4 3

9

．

點評：本題主要考查圓的方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，考查直線與拋物線、圓等知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．