Question

2．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x²+y²-4x+1=0，求下列各式的最大值與最小值．
（1）$\frac{y-1}{x-4}$；
（2）2x+3y；
（3）x²-10x+y²-14y．

Answer 1

分析 （1）（2），設(shè)出參數(shù)，利用圓心到直線的距離小于等于半徑，建立不等式，即可求最大值與最小值；（3）利用其幾何意義，即可求最大值與最小值．

解答 解：x²+y²-4x+1=0，可化為（x-2）²+y²=3
（1）設(shè)$\frac{y-1}{x-4}$=t，則y-1=t（x-4），即tx-y-4t+1=0，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|-2t+1|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$≤$\sqrt{3}$，∴2-$\sqrt{6}$≤t≤2+$\sqrt{6}$，
∴$\frac{y-1}{x-4}$的最大值為2+$\sqrt{6}$，最小值為2-$\sqrt{6}$；
（2）2x+3y=m，∴圓心到直線的距離d=$\frac{|4-m|}{\sqrt{13}}$≤$\sqrt{3}$，∴4-$\sqrt{39}$≤m≤4+$\sqrt{39}$，
∴2x+3y的最大值為4+$\sqrt{39}$，最小值為4-$\sqrt{39}$；
（3）x²-10x+y²-14y=（x-5）²+（y-7）²-74．
圓心（2，0）與（5，7）的距離為$\sqrt{（2-5）^{2}+（0-7）^{2}}$=$\sqrt{58}$，
∴（x-5）²+（y-7）²的最大值為（$\sqrt{58}$+$\sqrt{3}$）²，最小值為（$\sqrt{58}$-$\sqrt{3}$）²，
∴x²-10x+y²-14y的最大值為13+2$\sqrt{174}$，最小值為13-2$\sqrt{174}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查求最大值與最小值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．