Question

17．已知函數(shù)f（a^x）=x，g（x）=2log_a（2x+2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，2]有最小值2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）令t=a^x，則x=log_at（t＞0），即可得到所求函數(shù)的解析式；
（2）化簡g（x）的解析式，由基本不等式和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，計算即可得到a=4．

解答 解：（1）令t=a^x，則x=log_at（t＞0），
即有f（x）=log_ax；
（2）F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+2）-log_ax
=log_a$\frac{（2x+2）^{2}}{x}$=log_a4（x+$\frac{1}{x}$+2），
由4（x+$\frac{1}{x}$+2）≥4•（2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+2）=16，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1取得等號．
由題意可得a＞1，即有l(wèi)og_a16=2，即a²=16，
解得a=4．

點評 本題考查函數(shù)的解析式和最值的求法，考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式的運用，屬于中檔題．