Question

2．一個三角形數(shù)表的前5行如圖，第n行的第二個數(shù)為a_n（n≥2，n∈N^*）．

（1）求a₆；
（2）歸納出a_n+1與a_n的關(guān)系式（不用證明），并求出{a_n}（n≥2）的通項公式．

Answer 1

分析 （1）a₆=5+11=16；
（2）依據(jù)“中間的數(shù)從第三行起，每一個數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和”則第二個數(shù)等于上一行第一個數(shù)與第二個數(shù)的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．

解答 解：（1）a₆=5+11=16．…（2分）
（2）依題意a_n+1=a_n+n（n≥2）．…（5分）
∴a_n+1-a_n=n（n≥2），…（6分）
當n≥2時，a_n-a_n-1=n-1，
…，
a₃-a₂=2，…（7分）
將上面n-2個等式相加得a_n-a₂=$\frac{（n-2）（n+1）}{2}$…（9分）
因為a₂=2…（11分）
所以a_n=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$（n≥2）．…（12分）

點評 本題通過三角數(shù)表構(gòu)造了一系列數(shù)列，考查了數(shù)列的通項及求和的方法，屬于中檔題．