Question

7．觀察下列式子：1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＜1+$\frac{1}{2}$，1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$＜1+$\frac{2}{3}$，1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$＜1+$\frac{3}{4}$，…，根據(jù)上述規(guī)律，第n個(gè)不等式應(yīng)該為1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{{1}^{\;}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜1+$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 根據(jù)規(guī)律，不等式的左邊是n+1個(gè)自然數(shù)倒數(shù)的平方的和，右邊分母是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，分子是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，由此可得結(jié)論．

解答 解：根據(jù)規(guī)律，
不等式的左邊是n+1個(gè)自然數(shù)倒數(shù)的平方的和，
右邊分母是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
分子是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以第n個(gè)不等式應(yīng)該為1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{{1}^{\;}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜1+$\frac{n}{n+1}$．
故答案為：1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{{1}^{\;}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜1+$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查歸納推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．