Question

9．已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列命題不正確的是（　�。�

• A． 平面ACB₁∥平面A₁C₁D，且兩平面的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． 點P在線段AB上運(yùn)動，則四面體PA₁B₁C₁的體積不變
• C． 與所有12條棱都相切的球的體積為$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$π
• D． M是正方體的內(nèi)切球的球面上任意一點，N是△AB₁C外接圓的圓周上任意一點，則|MN|的最小值是$\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 A．根據(jù)面面平行的判定定理以及平行平面的距離進(jìn)行證明即可．
B．研究四面體的底面積和高的變化進(jìn)行判斷即可．
C．所有12條棱都相切的球的直徑2R等于面的對角線B₁C的長度，求出球半徑進(jìn)行計算即可．
D．根據(jù)正方體內(nèi)切球和三角形外接圓的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

解答 解：A．∵AB₁∥DC₁，AC∥A₁C₁，且AC∩AB₁=A，
∴平面ACB₁∥平面A₁C₁D，
長方體的體對角線BD₁=$\sqrt{3}$，
設(shè)B到平面ACB₁的距離為h，
則${V}_{B-A{B}_{1}C}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1$×1=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$$\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$h，即h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則平面ACB₁與平面A₁C₁D的距離d=$\sqrt{3}$-2h=$\sqrt{3}-2×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，故A正確，
B．點P在線段AB上運(yùn)動，則四面體PA₁B₁C₁的高為1，底面積不變，則體積不變，故B正確，
C．與所有12條棱都相切的球的直徑2R等于面的對角線B₁C=$\sqrt{2}$，則2R=$\sqrt{2}$，R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則球的體積V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{4}{3}$×π×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$π，故C正確，
D．設(shè)與正方體的內(nèi)切球的球心為O，正方體的外接球為O′，
則三角形ACB₁的外接圓是正方體的外接球為O′的一個小圓，
∵點M在與正方體的內(nèi)切球的球面上運(yùn)動，點N在三角形ACB₁的外接圓上運(yùn)動，
∴線段MN長度的最小值是正方體的外接球的半徑減去正方體的內(nèi)切球相切的球的半徑，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
∴線段MN長度的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$．故D錯誤，
故選：D．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及空間幾何體的結(jié)構(gòu)，面面平行的判斷，球的內(nèi)切問題，涉及的知識點較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．