Question

13．已知函數(shù)$f（x）={2^x}-\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$．若f（x）=2，求x的值．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{|x|}}$=2，當(dāng)x≥0時(shí)，${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$=2，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{-x}}$=2^x-2^x=0，此時(shí)不滿足題意．由此能求出x的值．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）={2^x}-\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$，f（x）=2，
∴${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{|x|}}$=2，
當(dāng)x≥0時(shí)，${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$=2，
解得2^x=1+$\sqrt{2}$，或${2}^{x}=1-\sqrt{2}$（舍），
∴x=log₂（1+$\sqrt{2}$）．
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{-x}}$=2^x-2^x=0，此時(shí)不滿足題意．
綜上，x的值為$lo{g}_{2}（1+\sqrt{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程的解法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．