Question

19．若A（1，4），B（-3，1），過點(diǎn)B的直線l與點(diǎn)A的距離為d．
（1）d的取值范圍為0≤d≤0；
（2）當(dāng)d取最大值時(shí)，直線l的方程為4x+3y+9=0；
（3）當(dāng)d=4時(shí)，直線l的方程為x=-3或7x+24y-3=0．

Answer 1

分析 （1）求出|AB|的值，即可得出過點(diǎn)B的直線l與點(diǎn)A的距離d的取值范圍；
（2）d取最大值時(shí)AB⊥l，求出k_AB，再求直線l的方程；
（3）d=4時(shí)，所求直線l有2條，設(shè)出l的方程，利用距離公式求出即可．

解答 解：（1）∵A（1，4），B（-3，1），∴|AB|=$\sqrt{{（1+3）}^{2}{+（4-1）}^{2}}$=5，
∴過點(diǎn)B的直線l與點(diǎn)A的距離d的取值范圍是0≤d≤5；
（2）當(dāng)d取最大值5時(shí)，AB⊥l，
∵k_AB=$\frac{1-4}{-3-1}$=$\frac{3}{4}$，
∴直線l的方程為 y-1=-$\frac{4}{3}$（x+3），
化為一般方程是4x+3y+9=0；
（3）當(dāng)d=4時(shí)，設(shè)直線l的方程為y-1=k（x+3），
即kx-y+3k+1=0，
∴點(diǎn)A（1，4）到直線l的距離為
d=$\frac{|k-4+3k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，
解得k=-$\frac{7}{24}$，
此時(shí)直線方程為7x+24y-3=0；
又當(dāng)斜率k不存在時(shí)，直線x=-3也滿足A（1，4）到直線l的距離d=4；
綜上，所求的直線方程為x=-3或7x+24y-3=0．
故答案為：（1）0≤d≤5，（2）4x+3y+9=0，（3）x=-3或7x+24y-3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，也考查了直線垂直、點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．