Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}+1}$=n（n∈N^*），且a₄=28，則首項(xiàng)a₁=1，通項(xiàng)公式a_n=（2n-1）n．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，構(gòu)造等差數(shù)列即可得到結(jié)論．

解答 解：由$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}+1}$=n（n∈N^*），得a_n+1+a_n-1=na_n+1-na_n+n，
即（1-n）a_n+1+（1+n）a_n=1+n，
a_n+1=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-$\frac{n+1}{n-1}$a_n=$\frac{1}{n-1}$（a_n-1）×（n+1），
即$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{n-1}$•a_n-$\frac{1}{n-1}$=$\frac{n}{n-1}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{n}{n-1}$•$\frac{1}{n}$，
則$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-1=$\frac{n}{n-1}$•（$\frac{{a}_{n}}{n}$-1），
即$\frac{1}{n}$•（$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-1）=$\frac{1}{n-1}$•（$\frac{{a}_{n}}{n}$-1），
即{$\frac{1}{n-1}$•（$\frac{{a}_{n}}{n}$-1）}為常數(shù)列，
∵a₄=28，
∴$\frac{1}{n-1}$•（$\frac{{a}_{n}}{n}$-1）=$\frac{1}{4-1}•（\frac{{a}_{4}}{4}-1）$=$\frac{1}{3}•（\frac{28}{4}-1）$=$\frac{1}{3}×6=2$，
即$\frac{1}{n-1}$•（$\frac{{a}_{n}}{n}$-1）=2，
整理得a_n=（2n-1）n，則a₂=6，
當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{{a}_{2}+{a}_{1}-1}{{a}_{2}-{a}_{1}+1}=1$，即a₂+a₁-1=a₂-a₁+1，
即a₁=1，滿足a_n=（2n-1）n，
故通項(xiàng)公式a_n=（2n-1）n，
故答案為：1，（2n-1）n

點(diǎn)評(píng) 本題目主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題得關(guān)鍵是利用遞推公式構(gòu)造特殊數(shù)列．綜合性較強(qiáng)，難度較大．